N^o 147.
Christiaan Huygens à A. de Bie1).
30 décembre 16522).

La minute et la copie se trouvent à Leiden, coll. Huygens.

De Bie t'Amsterdam.

30 dec. 1652.

Mijn Heer

Ick ben door verscheyden toevallen belet geweest van eerder mijn beloften naer te komen aengaende het verclaeren der stelling van Vieta3) tot vindingh der regulen van Cardanus, dewelcke hij van willens schijnt gesocht heeft duijster te maecken. Evenwel bemerke ick dat de selve in onse bekende termen gebraght sijnde niet anders en is, dan als volght. Zij voorgegeven ten eersten x³ ∞ - px + q. Ick stel x ∞ ⅓ p/y - y. Soo is x³, 1/27 p³/y³ - ⅓ pp/y + py - y³. ende - px, sal sijn - ⅓ pp/y + py. Ergo in plaets vande eerste aequatie komt dese, te weten: 1/27 p³/y³ - ⅓ pp/y + py - y³ ∞ - ⅓ pp/y + py + q. dat is 1/27 p³/y³ - y³ ∞ q ende 1/27 p³ - y⁶ ∞ qy³ ofte y⁶ ∞ - qy³ + 1/27 p³ 't welck een quadrate aequatie is ende komt ende .

Waerdoor y bekent sijnde soo is alreeds x mede bekent als sijnde ∞ ⅓ p/y - y. doch om Cardanus regel selfs te vinden, so zij andermael gestelt x ∞ z - ⅓ p/z komt in plaets van d'eerste aequatie dese z³ - pz + ⅓ pp/z - 1/27 p³/z³ ∞ - pz + ⅓ pp/z + q. dat is z³ - 1/27 p³/z³ ∞ q ende z⁶ ∞ qz³ + 1/27 p³. wederom een quadrate aequatie,

ende komt ende waer door z bekent zynde, soo is wederom bekent x die is z - ⅓ p/z. maer om dat x is ∞ z - ⅓ p/z, so is zx ∞ zz - ⅓ p en om dat x oock is ∞ ⅓ p/y - y, soo is yx ∞ ⅓ p - yy./zx + yx ∞ zz - yy Ergo gelijck bij gelijck geaddeert komt en dividerende door z + y, komt x ∞ z - y dat is .

Om den anderen regel te vinden te weten als gegeven is x³ ∞ px + q zij gestelt x ∞ y + ⅓ p/y, ende werckende als voren komt y⁶ ∞ qy³ - 1/27 p³ alwaer y³ twee verscheijde quantiteijten ende daerom 'twelck ick noemen sal a of oock 't welck ick sal noemen b. Ergo sal x sijn ∞ a + ⅓ p/a ende oock x ∞ b + ⅓ p/b
Ergo a x ∞ aa + ⅓p en, gelijck van gelijck aftreckende
komt en b x ∞ bb + ⅓p/ax - bx ∞ aa - bb en dividerende aen weder zijde door a - b komt x ∞ a + b dat is .

Dit is voor soo veel aengaet de Regulen van Cardanus. Indien VE noch niet gevonden en heeft door wat middel men soude konnen geraecken tot die van des Cartes, dewelcke in plaets vande aequatie x⁴. pxx. qx. r stelt y⁶ + 2py⁴ + ppyy - qq ick sal het selve mede geerne aen VE communiceren. In het doorreijsen heb ick laestmael Professor Schooten de difficulteyt voorgestelt van de Cromme linie van des Cartes, hoe dat de selve in 6 plaetsen van een circel soude konnen doorsneden werden. de welcke mij tot antwoort seijde sulx eertijts beproeft ende waer bevonden te hebben. VE kan 'tselve mede lichtelijck examineren, stellende een aequatie inde welcke x 6 verscheijde waere quantiteyten beteyckent, als 1, 2, 3, 4, 5, 6. dat is x - 1 ∞ 0, item x - 2 ∞ 0 ende so voorts, ende alles door malkander multiplicerende. alhoewel ick meijn dat men sommighe der intersectien quaelijck moet konnen bemercken. Hier mede eijndigende en verwachtende met VE antwoort de demonstratie waer van geseijt was, blijve

Mijnheer

VE dienstwilligen