I.1)
1652.
13 Jan. 1652. Prop. 4. lib. 2. Archim. de Sphaer. et Cylind.2)
Datam sphaeram secare plano, ita ut portiones inter se rationem habeant eandem datae.3)
Sit data sphaera ABCD quam oporteat secare plano KL, ita ut portio LAK ad KCL portionem eam habeat rationem quam CE ad EA.
Secetur sphaera per centrum, atque esto sectio circulus ABCD, diameter ejus BD et centrum M. Producatur DB et sit BF aequalis semidiamo. BM et describatur in eodem plano in quo est circulus ABCD parabola FGH, cujus vertex sit punctum F axis FB et latus rectum aequale ipsi FB vel BM. Jungatur deinde EF, centroque E, radio EF describatur circuli circumferentia FG, quae ubi parabolam descriptam proxime verticem secabit in G, inde ducatur GKL parall. FD, et secetur sphaera plano secundum KL quod rectum sit ad planum ABCD.
dico portionem LAK esse ad portionem reliquam KCL ut CE ad EA.4)
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Quod autem circumferentia FG parabolam secabit inter verticis punctum F et punctum H in quo BH perpendicularis ad FB, occurrit parabolae, hoc inde manifestum fiet. Jungantur EH, HC. Quoniam igitur FB aequalis est lateri recto parabolae FGH, erit necessario etiam BH aequalis FB vel MC quare CH parallela et aequalis BM. Est autem quadr. EF aequale istis simul quadrato FM, hoc est quatuor quadr.is MH5) et qu.o ME. at qu. EH aequale est istis qu.is ex EC et CH, hoc est duobus qu.is MH5) una cum qu.o ME et duobus rectangulis EMC, ergo quia hinc duo rect.la EMC minora sunt duobus istinc quadratis MH5), et reliqua utrinque communia, apparet quadr. EH minus esse qu.o EF; itaque punctum H intra circumferentiam cadet FG; sed eadem circumf. FG ad verticem F necessario ingressa est parabolam FGH. ergo eandem hanc secabit inter puncta F et H: quod erat primò ostendendum.
Fiat nunc sicut CM at MN potentia, ita MN ad NO longitudine,6) ponaturque OQ aequalis duplae MN. Jungantur de inde MK, ML atque item EG, et sit GP perpend, ad FB. Quia igitur aequales sunt EF, EG aequalia quoque erunt earum quadrata. ergo quadrata FM et ME simul aequalia quadratis GN, NE. quadr.i autem FM excessus super quadr. GN, aequatur duobus rectang. is PFM, hoc est, quatuor quadratis ex PG, minus qua.o PF.7) Sed quadratum EM deficit à qu.o EN duplo rectangulo EMN et qu.o MN. ergo cum hic defectus isti excessus aequalis sit necessariò8), erit duplum ▭ EMN una cum qu.o MN aequale quatuor qu.tis PG sive 4 □is MN minus qu.o PF. et ablato utrinque qu.o MN, erit duplum ▭ EMN aequale tribus qu.is MN minus qu.o PF, ideoque qu. PF aequale excessui trium qu.orum MN super duplo ▭o EMN. Quia autem ut FB, quae aequalis est lateri recto parabolae, ad PG, ita haec ad PF, erit quoque ut qu. FB ad qu. PG, sive ut qu. CM ad qu. MN, hoc est ut MN linea ad NO, ita qu. PG. ad qu. PF, hoc
est ad excessum trium qu.orum MN super duplo ▭ EMN. sed ut qu. PG seu qu. MN ad dictum excessum qui aequatur ▭o sub MN et sub eo quo tripla MN excedit
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duplam EM, ita est MN ad id ipsum quo tripla MN excedit duplam EM; ergo quoque ut MN ad NO ita eadem MN ad 3MN minus 2EM. aequalis est igitur excessus triplae MN super dupla EM ipsi NO ideoque tripla MN ablato NO, hoc est MQ (est enim OQ ex constr. aequalis duabus MN) aequabitur duplae EM.
Porro quoniam qu. CM. seu qu. KM est ad qu. MN ut MN linea ad NO,9) erit quoque per conversionem rationis qu. KM cui aequale qu MB, ad qu. KN ut MN ad MO. sed ut qu. BM ad qu. KN, ita est circulus circa diametrum BD ad circulum circa KL diametrum. ergo conus basin habens circulum circa BD et altitudinem MO aequalis est cono KML. a10) Est autem dimidia sphaera BCD, cui aequalis conus basin habens circulum circa BD et alitudinem AC, ad conum dictum basin eundem habentem circulum circa BD, et altitudinem MO, ut AC ad MO: ergo dimidia sphaera BCD est quoque ad conum KML ut AC ad MO. Sed eadem dimidia sphaera est ad partem solidi BKLD, quae remanet dempto cono KML, ut eadem AC ad OQ, (est enim dicta semisphaera ad sectorem solidum MKCL sicut superficies sphaerica BCD ad superficiem KCLb11), hoc est ut rectangulum ACM ad rectangulum ACN
c12), sive ut MC ad CN, ac proinde per conversionem rationis quoque semisphaera BCD ad dictam partem solidi BKLD quae remanet dempto cono KML ut CM ad MN sive ut AC ad duplam MN quae est OQ). Ergo semisphaera BCD erit ad totam partem solidam BKLD ut AC ad totam MQ, d13) quae aequalis duplae EM ostensa
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fuit,14) hoc est, ut AM ad ME. Quare et per conversionem rationis, erit semisphaera BCD ad portionem KCL ut MA ad AE. ideoque tota sphaera ABCD ad dictam portionem KCL ut AC ad AE, et dividendo, portio KAL ad portionem KCL ut CE ad EA: quod erat demonstrandum.
Idem problema composuit dionysidorus ope parabolae simul et hijperboles. Diocles per ellipsis et hijperbolen.15) Ipse vero Archimedes constructionem non dedit,16) nisi ea fortassis ipsius est quam Eutocius in vetusto libro se reperisse testatur;17) quae similis dionijsidori, nam per hijperbolam item et parabolam absolvitur.
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1)
- La pièce est empruntée aux pages 179-181 du manuscrit No. 12, mentionné dans la note 1, T. XI, p, 7.
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2)
- Voir la note 3, p. 3 du Tome présent.
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3)
- On trouvera une autre solution du même problème dans la pièce No. III, p. 16 du Tome présent.
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4)
- Cette construction fut communiquée à Grégoire de St. Vincent le 24 janvier 1652; voir la Lettre No. 118 et la pièce No. 119, p. 172 du T. I. Comme Huygens en fait la remarque dans sa lettre, Grégoire s'était occupé autrefois du même problème. En effet, aux pages 1021-1022 de son grand ouvrage, cité dans la note 6, p. 53, T. I, celui-ci, sans arriver à une solution proprement dite, avait montré qu'on pouvait réduire le problème à celui de couper un segment de parabole dans le rapport donné par une droite parallèle à l'axe de la parabole; ce qui d'ailleurs est très évident et n'avance guère la solution.
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6)
- C'est-à-dire CM2: MN2 = MN : NO.
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7)
- On a, en effet,
 ; où  , puisque BF est le ‘latus rectum’ de la parabole.
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8)
- Huygens ajoute ici en marge ‘hoc melius paulo ante’; ce qui veut dire: de suite après la phrase ‘FM et ME simul aequalia quadratis GN, NE.’
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10)
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a. 15. 12. Elem.’ [Huygens]. Voici cette ‘Prop. 15’ du ‘Lib. 12’ des ‘Elementa’ d'Euclide dans l'édition de Clavius citée dans la note 6, p. 477, T. I: ‘Aequalium conorum, & cylindrorum reciprocantur bases & altitudines: & quorum conorum, & cylindrorum reciprocantur bases & altitudines, illi sunt aequales.’ (Clavius, p. 480).
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11)
- ‘b ultima lib. 1. Archim.’ [Huygens]. ‘Cuicunque portioni sphaerae aequatur conus ille, qui basim habeat aequalem superficiei sectionis sphaerae, quae secundum dictam portionem habeatur: altitudinem uero aequalem sphaerae semidiametro.’ Voir p. 40 de l'édition de Bâle citée p. 137 du T. I note 1 ou celle de Heiberg T. I, p. 181; citée p. 50 du T. XI, note 2.
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12)
- ‘c 40. lib. 1. Archim.’ [Huygens], ‘Superficies cuiuscunque portionis sphaerae, quae quidem portio sit dimidia sphaera minor, aequalis est circulo, cuius semidiametros aequatur lineae illi, quae à uertice portionis ad circumferentiam circuli ducta sit, qui circulus portionis est basis.’ (p. 39 de l'édition de Bâle, où elle se trouve, en effet, sous le numéro 40; chez Heiberg, page 177 du T. I, elle porte le numéro 42.)
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13)
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d 24.5. Elem. potuere tamen melius rationes disponi.’ [Huygens]. Voir la note 28 de la page 312 du Tome XI. Pour appliquer la proposition, considérons les proportions suivantes:
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conus KML : dimidia sphaera BCD = MO : AC |
| portio BKLD - conus KLM : dimidia sphaera BCD = OQ : AC; |
ce qui amène par la proposition citée:
| portio BKLD : dimidia sphaera BCD = MQ : AC; |
proportion identique avec celle du texte, à part l'ordre des termes que nous avons dû changer aussi dans les deux autres proportions pour pouvoir appliquer la proposition d'Euclide.
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14)
- Voir la fin de l'alinéa précédent.
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15)
- On rencontre ces solutions de Dionysidore et de Dioclès dans les Commentaires d'Eutocius sur l'ouvrage d'Archimède ‘De sphaera et cylindro’; voir les p. 37-42 de l'édition de Bâle. (Heiberg, p. 180-209 du T. III.)
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16)
- La solution avait été réduite par Archimède à celle du problème suivant: ‘datis duabus
lineis BΔ et BZ, quarum B Δ duplo maior est linea BZ, et puncto Θ in linea BZ, lineam Δ B in puncto X ita secare, ut fiat BΔ2 : ΔX2 = XZ : Z Θ.’ (Heiberg, T. I, p. 215; p. 46 de l'édition de Bâle). Posant B Δ = a, ΔZ = b, ZΘ = c, ΔX = x, ce problème se réduit à la solution de l'équation cubique  .
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17)
- Le passage cité dans la note précédente est suivi par la phrase ‘quorum utrumque in fine et resoluetur et componetur.’ Toutefois cette résolution et composition manquent dans l'oeuvre authentique d'Archimède. Or, Eutocius croit les avoir retrouvées dans un vieux manuscrit qu'il reproduit dans ses Commentaires (voir Heiberg, T. III, p. 152-179; p. 32-37 de l'édition de Bâle).
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