Avertissement.

Aperçu général des travaux mathématiques de 1655 à 1659.

Les années 1655-1659 ont été fertiles, pour Huygens, en recherches mathématiques de genres très différents. Parmi les travaux qui datent de cette période on en trouve qui se rapportent à la théorie des nombres et surtout à l'équation dite de Pell1); d'autres contiennent la rectification de la parabole et la quadrature des surfaces courbes des conoïdes parabolique, elliptique et hyperbolique2), ou la discussion d'un certain nombre de courbes diverses, de leur quadrature, de la cubature de leurs surfaces de révolution et de divers centres de gravité qui se présentent dans leur étude3); d'autres encore traitent, à l'occasion des problèmes sur la cycloïde proposés par Pascal, des propriétés de cette courbe4) et d'une application cyclométrique de l'une de ces propriétés5). Il y en a de très

importants qui exposent et appliquent la théorie des développées et des courbes parallèles1) et d'autres plus élémentaires qui donnent la solution d'un problème, ou bien la démonstration d'un théorème, d'arithmétique2), de planimétrie3), de stéréométrie4) ou de géométrie analytique5).

Il ne semble pas nécessaire d'analyser ici toutes ces Pièces. Nous nous bornerons donc à parler des principales. D'ailleurs pour les autres les notes que nous y avons ajoutées suffiront pour en faire connaître la genèse et la portée.

Disons encore que beaucoup des résultats les plus importants trouvés par Huygens pendant l'époque qui nous occupe ont été publiés par lui dans son ‘Horologium oscillatorium’ de 1673; mais sans démonstrations et sans faire connaître aucunement la manière dont ils furent obtenus. Or, les Pièces qui suivent fournissent les démonstrations qui manquent dans cet ouvrage, et jettent une vive lumière sur les méthodes employées par Huygens pour découvrir les résultats qu'il y énonce.

Recherches sur la théorie des nombres. Équation dite de Pell.

Huygens n'a été que rarement sous l'influence du charme que la théorie des nombres a exercé sur tant de mathématiciens célèbres. On peut même dire que s'il s'est occupé quelquefois de cette théorie, c'était un peu malgré lui.

Ainsi, en mai 1656, Huygens écrit à Mylon6), qui lui fait parvenir deux problèmes de Fermat sur les nombres, que ces problèmes ‘sont tout a fait beaux dans le gendre, et mal aisez à resoudre,’ qu'‘au moins ils me semblent tels a moy qui

ne me suis gueres exercè dans les questions des nombres, parce que j'ay toujours pris plus de plaisir à celles de Geometrie. Toutefois j'essayeray encore si j'en puis devenir maistre’. Deux années plus tard, en septembre 1658, il s'exprime bien plus fortement dans une lettre à Wallis en disant qu'il ne comprend pas qu'on s'occupe avec tant d'animation de ces sortes de problèmes auxquels on ne devrait consacrer ‘ses bonnes heures’ que lorsque les questions importantes comme on en trouve tant dans la géométrie viendraient à manquer7). Et Huygens a persévéré longtemps dans cette attitude8). C'est seulement vers la fin de sa vie qu'il communique à Leibniz un jugement plus favorable lorsqu'il lui écrit9): ‘Dans la recherche des nombres, le plus utile seroit de s'arrester aux Theoremes dont il y en a des beaux et qui peuvent servir dans des rencontres’.

Quel est donc le motif qui a poussé Huygens en 1657 et 1658 à s'occuper plus activement de problèmes sur les nombres? Il nous le révèle dans une de ses lettres10), où l'on lit: ‘Je n'adjousteray rien touchant le traité de Monsieur Frenicle11) si non que je suis marry de n'avoir pas sceu, auparavant que de veoir la solution de ces problemes, que Monsieur de Fermat la jugeoit de telle importance. Car encore que je ne me sois jamais guere appliquè aux questions purement arithmetiques je n'aurais pas laissè d'entreprendre celles cy, afin de meriter s'il m'eust estè possible l'estime de ce grand homme’12).

Ajoutons qu'une fois lancé dans cette voie, qui n'était pas de celles qu'il préférait suivre mais où ses relations avec les géomètres français de son époque l'avaient poussé, il n'a pas manqué de faire des remarques ingénieuses sur l'équation de Pell, d'inventer un bel algorithme pour trouver le résidu de la division d'un grand nombre p.e. par le nombre 71) et d'indiquer de nouveaux caractères pour reconnaître si un nombre donné est un non-carré2).

Déjà en 1646 le père Mersenne tâcha, mais avec peu de succès, d'intéresser le jeune Huygens, âgé alors de dix-sept ans, aux problèmes sur les nombres3).

En 1656, après son premier séjour à Paris4), l'influence des mathématiciens français commence à se faire sentir. Il croit être agréable à Mylon en lui mandant5) que van Schooten lui a ‘monstrè une reigle de Monsieur des Cartes6) pour trouver des nombres qu'on appelle amicabiles’. Il s'est lui-même appliqué à cette recherche et il veut savoir si Mylon a quelque règle semblable7).

Nous ne savons pas quels étaient ces deux problèmes de Fermat envoyés en mai 1656 dont il fut question plus haut8). Ce ne fut qu'en mars de l'année suivante

que Huygens reçut le célèbre problème qui a occupé tant de mathématiciens9), savoir celui de trouver des nombres entiers satisfaisant à l'équation , où a est un nombre entier donné; équation à laquelle on a associé bien à tort le nom de Pell10).

Voici les résultats obtenus par Huygens dans ses recherches sur cette équation: 1^o. il montra que chaque solution de l'une des équations en amène une autre de l'équation en question11); 2^o il remarqua qu'il en est de même pour chaque solution d'une équation , pourvu que k satisfasse à une certaine condition12); 3^o. il indiqua une solution dans les cas particuliers où , ou p² ± 213); 4^o. il montra qu'ayant trouvé une solution quelconque de l'équation de Pell on en peut déduire une infinité d'autres14).

On voit donc, qu'excepté dans les cas particuliers prémentionnés, Huygens n'avait d'autre moyen, pour trouver une solution d'une équation de Pell donnée, que d'essayer diverses valeurs de u l'une après l'autre afin d'examiner si elles satisfaisaient à l'équation de Pell elle-même ou à l'une des équations auxiliaires. Il est vrai que, dans cette besogne, les caractères qu'il avait trouvés15) pour reconnaître très vite dans un grand nombre de cas qu'un nombre donné est un non-carré, lui pouvaient être utiles; mais cela n'empêchait pas que sa méthode ne fût très laborieuse et ne pût pas servir dans les cas fréquents16) où la plus petite

solution est un nombre aslez grand. Sans douce Fermat et Frenicle possédaient des méthodes plus puissantes, mais ils ont eu le tort de ne pas les faire connaître1).

Or, ayant reçu, en septembre 1658, le ‘Commercium epistolicum’ de Wallis2), Huygens y trouva une méthode due à Brounker qui conduit au but avec sûreté, même dans les cas les plus compliqués, comme p.e. dans celui de a = 109, où la plus petite solution égale 151404244551003).

Quoique cette méthode soit encore loin de l'élégance et de la perfection obtenues plus tard dans cette matière par les mathématiciens modernes4), on comprend que Huygens, après en avoir éprouvé l'efficacité, ne manqua pas de témoigner à Wallis de son admiration pour cette invention, tout en y apportant, bien à raison, cette restriction: qu'il n'en resulte pas, comme Wallis le prétendait, que chaque équation de Pell doit admettre une solution2).

Rectification de la parabole et quadrature des surfaces des conoïdes parabolique, elliptique et hyperbolique.

Les problèmes de la rectification de la parabole et de la quadrature de la surface du conoïde parabolique étaient présents dans les esprits des mathématiciens au temps où Huygens commença sa carrière scientifique.

En 1646 déjà, lorsqu'il était âgé de 17 ans, il rencontra dans les ‘Cogitata physico-mathematica’ de Mersenne5) une fausse quadrature de la surface du conoïde parabolique6).

De même, en 1656, Huygens reconnut la fausseté de la rectification de la parabole, proposée par Hobbes7).

Ainsi l'on comprend que, lorsque, le 27 octobre 1657, il trouva la solution des deux problèmes pour autant qu'elle était possible, savoir leur réduction respectivement à la quadrature de l'hyperbole et à celle du cercle, il fit sortir de sa plume le fameux ‘εὕρηϰα’8) dont il avait coutume de marquer dans ses manuscrits les endroits où il venait d'exposer une découverte importante. Ensuite il se mit à rédiger à la mode archimédienne les démonstrations des théorèmes qu'il avait trouvés9); sans doute avec l'intention de les faire paraître dans un nouveau traité géométrique du genre de ceux qu'il avait déjà publiés. Vers le même temps il communiqua à de Sluse10) et à van Schooten11) les résultats de sa quadrature de la surface du conoïde parabolique pour quelques cas particuliers, sans toutefois leur saire connaître ni sa méthode, ni la solution du cas général.

De la lettre qu'il avait reçue, van Schooten donna lecture à van Heuraet12). Huygens nous assure13), et il n'y a pas lieu d'en douter, que ce fut cette lecture qui inspira à van Heuraet son article ‘De transmutatione curvarum linearum in rectas’14), où, en trois pages, il expose une méthode générale pour réduire la rectification d'une courbe à la quadrature d'une autre et l'applique à la rectification de la parabole cubique et à la réduction de celle de la parabole ordinaire à la quadrature de l'hyperbole.

À la suite de cette communication, van Heuraet fit bientôt parvenir à Huygens sa solution à lui du problème de la quadrature de la surface du conoïde parabolique15). Elle correspond à celle de Huygens pour le fond, mais en diffère beaucoup par la forme16). Or, Huygens avait obtenu son résultat d'une manière assez détournée, moitié algébrique, moitié géométrique, se basant sur une propriété

de la suite des nombres carrés impairs 1, 9, 25, etc., et, en fin de compte, sur la cubature du conoïde hyperbolique obtenue déjà par Archimède1). Il n'était pas probable que van Heuraet eût suivi la même voie. Il fallait donc qu'il en existât une autre plus directe et Huygens ne tarda pas à la découvrir; en la suivant il retrouva le résultat de van Heuraet dans la forme même dans laquelle celui-ci l'avait énoncé2). De plus, il aperçut que la méthode qu'il venait de trouver pouvait s'appliquer également à la quadrature des surfaces des conoïdes hyperboliques et elliptiques.

En effet, la nouvelle méthode apprenait à réduire la quadrature de la surface de révolution engendrée par une courbe méridienne donnée à la quadrature d'une courbe plane. Lorsque la première courbe était une parabole, la courbe adjointe l'était également3); lorsqu'elle était une hyperbole ou une ellipse l'adjointe était, dans le premier cas une hyperbole4), dans le second, selon les circonstances, une hyperbole5) ou une ellipse6). Cela signifiait qu'on pouvait réduire la détermination du rayon d'un cercle dont l'aire est égale à celle de la surface d'un conoïde hyperbolique ou elliptique, ou bien à la quadrature de l'hyperbole et, par conséquent, aussi à la rectification de la parabole, ou bien à la quadrature du cercle. C'était là une invention importante qui valait la peine d'être poursuivie en détail. Et, en effet, Huygens réussit bientôt à trouver des constructions très élégantes pour le rayon de ce cercle d'aire égale7).

Évidemment ces nouvelles découvertes méritaient d'être insérées dans le traité que Huygens avait projeté. Mais une difficulté se présenta. Jusqu' ici, en rédigeant ses ouvrages géométriques, Huygens avait toujours suivi scrupuleusement dans ses démonstrations la méthode des anciens de laquelle il donne, dans une annotation de 16598), une analyse, remarquable par sa généralité. Or, pour appliquer cette méthode on devait circonscrire aux grandeurs en question (longueurs, aires ou volumes) d'autres qui ne les surpassent que d'une quantité

aussi petite qu'on le veut, et on devait prouver rigoureusement qu'il en est ainsi, en partant de postulats bien définis9). Par des artifices souvent très ingénieux10), Huygens avait réussi jusqu' à présent à satisfaire à ces exigences, mais il prévoyait que pour les résultats nouvellement obtenus cela demanderait un travail très pénible et d'une valeur douteuse. Il se décida donc à une sorte de compromis11); c'est-à-dire il résolut de se servir quelquefois des ‘indivisibles’12), se bornant en ce cas à fournir non pas une démonstration rigoureuse, mais seulement ‘le fondement d'une telle démonstration, de sorte qu'apres l'avoir examiné ceux qui s'y connaissent ne sauraient douter de la possibilité d'une démonstration rigoureuse’. Toutefois il ne changera pas les parties qu'il a déjà rédigées13). Elles pourront ‘servir de preuve et en quelque sorte d'exemple pour montrer que les autres parties auraient pu être arrangées de la même façon14)’.

Conformément à ces intentions Huygens rédigea la partie du traité projeté qui se rapporte à l'étude détaillée des courbes adjointes de la parabole, de l'hyperbole et de l'ellipse1). Ensuite il cessa de s'en occuper; probablement parce que la première ardeur de l'invention était passée et qu'il était attiré par d'autres travaux2). Enfin, en 1673, il se contenta de donner dans son ‘Horologium oscillatorium’3) les principaux résultats qu'il avait obtenus, sans y joindre de démonstrations; ce qu'il jugea alors d'autant moins nécessaire que Wallis avait publié dans ses ‘Tractatus duo’ de 1659, les quadratures de surfaces courbes de conoïdes avec les déductions4).

Nous n'avons pas encore parlé de la deuxième Partie (p. 324-334) de la Pièce N.^o X; elle occupe une place à part dans les recherches de Huygens sur la quadrature des surfaces des conoïdes hyperboliques et elliptiques.

Soit, afin d'en montrer la portée, h₁, la hauteur, S₁ l'aire de la surface courbe d'un conoïde elliptique découpé d'un sphéroïde aplati dont 2a₁ est le plus grand axe et 2b₁ le plus petit, qui est l'axe de révolution; soit de plus h₂ la hauteur d'un

conoïde hyperbolique, S₂ l'aire de sa surface courbe appartenant à un hyperboloïde dont 2a₂ est l'axe réel et de révolution, et 2b₂ l'axe imaginaire.

Posons encore . On a alors:

Si l'on prend la somme S₁ + S₂ de ces expressions, il est évident que dans certains cas les termes logarithmiques peuvent disparaître, de sorte que l'expression pour S₁ + S₂ devient purement algébrique.

Or, dans la Partie qui nous occupe, Huygens a réussi à découvrir un de ces cas par des raisonnements géométriques. Pour y parvenir, il suppose en premier lieu que la courbe méridienne LOTM5) du sphéroïde aplati, de révolution autour de OM, et celle HGB du conoïde hyperbolique, de révolution autour de TK, possèdent la même courbe adjointe RXT.

Dans nos notations cela conduit aux relations:

et l'on remarquera que ces relations amènent l'égalité des coefficients et des termes logarithmiques dans les expressions pour S₁ et S₂.

Ensuite Huygens emploie une construction que nous allons expliquer. Consi-

dérons



à cet effet le conoïde correspondant au segment OLʹKʹO. Sa surface courbe est égale à l'espace mixtiligne OXATʹSʹO multiplié par 2π. De même la surface courbe du conoïde hyperbolique engendré par HGBK est égale à l'espace KRXABK multiplié également par 2π. Or, le premier de ces espaces est égal à un trapèze moins le segment hyperbolique XATʹX, et le second à un trapèze plus le segment RXAR. On peut donc, lorque ces segments sont égaux, construire avec la règle et le compas une ligne ρ, telle que 1/2 ρ² est égal à la somme des espaces OXATʹSʹO et KRXABK, et cette ligne constituera alors le rayon d'un cercle dont l'aire est égale à la somme des aires des deux surfaces courbes conoïdales.

Tout dépend ainsi de la construction de la corde AR qui, partant du point donné A, découpe de l'hyperbole TTʹAXR un segment ARXA égal au segment donné TʹAXTʹ; construction que Huygens apprend à exécuter à la p. 3271).

C'est là en principe la découverte de Huygens; mais il reste à dire 1^o qu'il se borne au cas du demi-sphéroïde LOTL, 2^o qu'il remplace vers la fin ce demisphéroïde par un sphéroïde entier dont les axes sont à ceux du demi-sphéroïde comme 1 à √22), 3^o qu'il s'occupe surtout du cas particulier où les points X et A de la présente figure coïncident3).

Ce cas exige BS = OX, c'est-à-dire . Combinée avec et avec 4), cette relation nous donne:

ou bien:

ou enfin:

De cette derniere équation on déduit ; ce qui donne .

Si l'on écrit cette dernière équation sous la forme: , elle nous dit que le ‘latus rectum’ de l'ellipse LOTM (par rapport à l'axe LT) est le plus grand segment de cet axe divisé en extrême et moyenne raison; résultat dont Huygens ne manqua pas de faire mention dans l'‘Horologium oscillatorium’5).

Ajoutons encore, avant de passer à d'autres sujets, que déjà le 15 février 16586), Huygens donna à de Sluse un aperçu de ses nouvelles découvertes, y comprise celle que nous venons d'expliquer. Il fit suivre cet aperçu le 26 février7) par une description des constructions qui servent à la quadrature des sphéroïdes avec la recommandation de ne pas les montrer à d'autres personnes. Toutefois, l'année suivante, il résolut de faire ‘connaître partout’ son théorème sur la rectification de la parabole8). Il le fit, en effet, en y joignant ses inventions sur la quadrature des surfaces des conoïdes et sphéroïdes, en janvier et février 1659, à de Carcavy, à Wallis, à Pascal, à van Schooten et à Boulliau9) et, encore, en septembre et octobre 1659, à Grégoire de St. Vincent et à Kinner à Löwen-

thurn1). Évidemment Huygens croyait avoir trouvé ainsi le moyen le plus efficace de se réserver la priorité de ses découvertes, en attendant qu'il aurait le loisir de les publier. Aussi fait-il un appel, dans l'‘Horologium oscillatorium’2), à sa correspondance avec de Sluse, Pascal, Wallis et d'autres pour constater cette priorité.

Nous avons déjà vu quel a été l'esset de la communication à Wallis3). Pascal loua beaucoup les inventions de Huygens dans une lettre à de Carcavy4) et dans la ‘Lettre de A. Dettonville a Monsieur Hugguens de Zulichem’5) qu'il publia en février 1659. En même temps il fit parvenir à Huygens une esquisse de sa méthode pour la solution du cas du conoïde parabolique, en y ajoutant que les cas du conoïde hyperbolique et des sphéroïdes lui semblaient bien difficiles; ‘ainsy’ poursuivit-il ‘ie n'y penseray pas seulement car ie suis persuadé qu'il y a plustot du blame que de l'honneur a accquerir en trauaillant sur les ouurages d'autruy et principalement quand ils sont traittez par des personnes excellentes comme Monsieur Hugguens’6).

À Fermat Huygens avait seulement fait demander par l'intermédiaire de de Carcavy7) si sa méthode s'étendait à trouver la dimension des surfaces courbes des conoïdes et des sphéroïdes. Fermat répondit affirmativement et afin que Huygens n'en pût douter il donna quelques indications sur les résultats, assurant qu'il les avait obtenus sans connaître ceux de Huygens8). Il ajouta qu'il avait trouvé de même la quadrature de la surface courbe engendrée par la révolution d'une parabole autour de son appliquée9); savoir qu'elle se réduit à la quadrature de l'hyperbole.

À ce propos Huygens écrivit à de Carcavy10) qu'il croyait bien que ‘Monsieur de Fermat n'avoit veu’ aucune de ses propositions ‘puis qu'il l'assure’, mais que ‘d'autres peut estre seraient plus incredules, si en les donnant au public il n'allegue celuy a qui il les aie fait veoir auparavant. La mesure de la superficie du conoide que fait la parabole autour de l'appliquée laquelle il promet en supposant la quadrature de l'hyperbole sera quelque chose de nouveau si elle est vraye’.

En réponse de Carcavy rassura Huygens sur les intentions de Fermat11) et lui fit parvenir12) de la part de celui-ci le résultat de la quadrature en question, laquelle fut trouvée ‘subtile’ par Huygens qui pria de Carcavy d'exhorter Fermat à publier sa méthode si elle était nouvelle13).

Recherches sur les paraboles et hyperboles de divers degrés, sur la conchoïde, la cissoïde et sur d'autres courbes.
Tangentes, quadratures, cubatures des solides de révolution, centres de gravité.

Nous ne dirons que peu de mots à propos des recherches qu'on trouve dans les Pièces N^o. VIII et N^o. IX14).

Dans la ‘Praefatio’ du ‘Tractatus mechanicus’ de Mersenne15) Huygens avait rencontré un grand nombre de résultats concernant les tangentes et les quadratures des courbes y^a = kx^b, les cubatures des solides de révolution, engendrés par leurs segments, et les centres de gravité de ces segments16) et de ces solides; mais tout cela sans démonstrations ni déductions. Ces resultats étaient dus, comme Mersenne l'assure, à deux savants qu'il ne nomme pas, mais dont l'un était probablement Roberval et l'autre certainement Fermat17).

Or, dans la Pièce N^o. VIII, Huygens s'applique à verifier et à étendre ces

résultats1), et aussi à en donner des démonstrations ‘Euclideo more’2). Il commence, à cet esset, par déterminer les tangentes des courbes prémentionnées qu'il appelle ‘paraboloïdes.’ Ensuite il emploie d'une manière ingénieuse les propriétés de ces tangentes pour obtenir les quadratures3) et les cubatures cherchées dont il sait déduire enfin la situation des centres de gravité. Il résume ses résultats en six règles4) dont les trois premières correspondent exactement aux règles générales empruntées par Mersenne à Fermat qui, à ce qu'il paraît, était aussi en possession des autres règles5).

Après donc avoir trouvé à sa satisfaction les règles pour les ‘paraboloïdes’, Huygens s'aperçut que ses raisonnements étaient applicables avec peu de modifications aux ‘hyperboloïdes’, savoir aux courbes x^by^a = k. Il étudia donc ces courbes et s'occupa surtout de ce qui les distingue des ‘paraboloïdes’, c'est-à-dire des espaces qui s'étendent jusqu'à l'infini entre les courbes et leurs asymptotes6).

Ajoutons encore que Huygens mentionne ses recherches sur les ‘paraboloïdes’ et les ‘hyperboloïdes’ dans l'‘Horologium oscillatorium’, p. 90 de l'édition originale.

Les travaux de la Pièce N^o. IX doivent pour la plupart leur origine à la correspondance assidue qui eut lieu entre Huygens et de Sluse dans les années 1657 et 1658. Ils peuvent servir à expliquer plusieurs passages dans les lettres de Huygens à son ami.

D'abord7) les deux correspondants s'occupent des ‘perles de de Sluse’, savoir des courbes dont les équations sont comprises dans l'équation générale . Ils les complètent, si c'est nécessaire, par leurs symétriques8) , afin d'obtenir des boucles fermées dont ils déterminent les tangentes, les points d'inflexion, les quadratures et les centres de gravité, comme aussi les cubatures de leurs solides de révolution. Ensuite c'est le tour de la conchoïde9) et de la cissoïde10). Quelquefois d'autres mathématiciens, van Schooten11), Hudde12), van Heuraet13), Wallis14) et Mylon15), participent à la discussion de ces mêmes sujets.

Ce qui intéresse beaucoup Huygens et de Sluse, ce sont ces espaces dont nous avons déja parlé à propos des ‘hyperboloïdes’, qui s'étendent à l'infini entre les courbes et leurs asymptotes et dont toutefois les aires, ou les volumes des solides de révolution, sont parfois finis16). C'est de Sluse qui donne à cet intérêt l'expression la plus pittoresque lorsqu'il se vante de pouvoir donner la mesure d'un vase de poids médiocre mais que, cependant, le plus grand glouton ne pourrait vider17).

Remarquons encore l'importance que Huygens et de Sluse, et surtout ce dernier, attachent aux réductions à la quadrature du cercle ou de l'hyperbole. Chaque problème dont la solution amènerait en même temps une de ses quadratures est appelé par de Sluse une ‘ἀπαγωγὴν’; et les nombreuses quadratures et cubatures de ce genre qui se présentent dans sa correspondance avec Huygens, il les considère principalement comme des ‘ἀπαγωγάς’ plus ou moins intéressantes1).

Recherches sur les propriétés géométriques de la cycloïde.

C'était le père Mersenne qui, comme sur tant d'autres sujets, fournit à Huygens, en 1646, les premiers renseignements2) en partie inexacts3) sur des travaux existants concernant la cycloïde; mais ces communications ne semblent pas avoir donné lieu du côté du jeune Huygens à des recherches originales.

Il en fut autrement, lorsque, douze années plus tard, Boulliau lui envoya4) les deux lettres circulaires dans lesquelles Pascal, sous le pseudonyme Dettonville, proposa ‘à tous les géomètres de l'univers’ les problèmes suivants: Trouver



l'aire d'un demi-segment cycloïdal EBF5) et la situation de son centre de gravité, les volumes des solides engendrés par la révolution de ce segment autour de BF et autour de EF, ainsi que

les centres de gravité de ces solides et aussi des solides partiels qu'on obtient en les coupant par un plan passant par leur axe de révolution.

Pascal, d'ailleurs, n'exigeait pas que tous les calculs fussent exécutés; il se contenterait, écrivit-il, de chaque solution qui établirait, soit à la manière des anciens, soit par la méthode des indivisibles, comment on pourrait déterminer toutes les choses demandées. Toutefois il réclamait la démonstration complète, ou le calcul complet, dans les cas particuliers où le point F se confond avec le point D, ou avec le centre du cercle générateur BGD. Les prix seraient décernés à ceux qui, avant le 1^er octobre 1658, auraient résolu les questions proposées6).

Ensuite dans sa seconde lettre circulaire il avertit qu'il suffirait de calculer la situation du centre de gravité du solide engendré par une demi-révolution de l'espace ABD autour de la base AD7)

Huygens, ayant pris connaissance de ces problèmes, ne tarda pas à se mettre à l'oeuvre. Il trouva d'abord l'aire BEF dans les deux cas particuliers signalés par Pascal8). Ensuite il détermina l'aire du segment EBO dans le cas général9) et

découvrit à cette occasion un cas remarquable où ce segment est carrable sans



supposer la quadrature du cercle1). Enfin il trouva, dans les deux cas particuliers, la distance du centre de gravité du segment EBO à sa base EO et en déduisit le volume du solide engendré par la révolution autour de cette base2).

Il put mander, à Boulliau, le 25 juillet 1658, qu'il avait obtenu ces résultats3). Il ajouta qu'ayant manqué le reste, il ne pouvait aspirer au prix proposé par l'auteur; d'ailleurs les problèmes lui ‘semblent si difficiles pour la pluspart, qu'il doubte fort si celuy mesme qui les a proposez les pourroit tous resoudre’.

Toutefois ces problèmes et surtout celui signalé en particulier dans la seconde circulaire, ne lui laissaient pas de repos. Il reprit donc ce dernier problème et il réussit, en effet, par des artifices des plus ingénieux à déterminer la distance du centre de gravité du solide en question au plan ABD4), de sorte que pour connaître complètement la situation du centre de gravité demandé il ne lui manqua plus que la distance au plan décrit par BD5). Il communiqua à Boulliau6) ce résultat qui était faussé par des erreurs de calcul7), en ajoutant de nouveau qu'il croyait à peine ‘que tous les dits problemes estoyent possibles’.

En janvier 1659 les recherches de Huygens sur la cycloïde reçurent une nouvelle impulsion. Pascal lui avait fait parvenir son ‘Historia cycloidis’8). Il y mentionne la rectification de la cycloïde par Wren et propose quelques nouveaux problèmes relatifs au centre de gravité d'un arc cycloïdal, comme EBO, et aux dimensions et centres de gravité des surfaces engendrées par la révolution d'un tel arc autour de sa flèche ou de sa corde9). Huygens admira beaucoup l'invention de Wren10), quoiqu'il ne sût pas encore si sa rectification s'appliquait à un arc quelconque - ce qui était bien le cas11) - ou seulement à la cycloïde entière. Il réussit bientôt à retrouver le résultat de Wren12) et à résoudre le premier des nouveaux problèmes, savoir celui de déterminer le centre de gravité de l'arc EBO13). Il fut agréablement surpris.14) par la simplicité du résultat, indiquant que le centre de gravité de cet arc divise toujours la flèche BF dans la raison de 2 à 1.

Toutes ces dernières recherches partaient de la connaissance de la tangente à la cycloïde, qui, en tout point E, est parallèle à la corde BG. Huygens avait rencontré cette propriété dans l'édition de van Schooten de la ‘Geometria’ de Descartes15), mais il n'était pas entièrement content de la manière dont elle y est déduite. Il s'appliqua donc à en donner une nouvelle démonstration16) basée sur le postulat qu'une droite qui passe par un des points d'une courbe

est tangente à cette courbe lorsque les points de la courbe qui se trouvent de part et d'autre du point considéré et dans son voisinage, sont situés du même côté de la droite; postulat qu'il emploie souvent dans ces sortes de démonstrations1).

Quoique Pascal tâchât de faire parvenir à Huygens aussitôt qu'il lui fût possible2) la célèbre ‘Lettre de A. Dettonville à Monsieur de Carcavy suivie de traités de géométrie’3) publiée en décembre 1658, Huygens ne la reçut que le 8 mai 16594). Il y trouva, du moins en principe, la solution de tous les problèmes proposés. En effet, dans la lettre elle-même et dans les traités qui l'accompagnent, Pascal sait se procurer, pour le cas spécial de la cycloïde, presque toutes les ressources, nommément l'intégration par parties, dont dispose aujourd'hui le mathématicien moderne. Par suite, ses méthodes sont plus générales et plus puissantes que celles de Huygens, qui pour chaque nouveau problème devait chercher de nouveaux artifices; mais, comme Huygens s'exprime5) ‘il faut avouer que c'est un labyrinthe lors que l'on veut faire la construction de quelque probleme, et pour cela je voudrois qu'il eust partout pris seulement un cas le plus facile pour en donner le calcul tout du long et non seulement le dernier facit, ou bien un exemple a chaque Theoreme’. C'est pourquoi Huygens choisit, pour y appliquer la méthode de Pascal, deux cas particuliers de l'un des problèmes qu'il n'avait pas pu résoudre auparavant. Il envoya sa solution du cas le plus compliqué à de Carcavy6), le priant de lui dire s'il avait ‘bien supputè’. Quant à la solution de l'autre cas, nous la reproduisons dans la Cinquième Partie de la Pièce N^o. XI, p. 3767). Par l'application du théorème de Guldin on en déduit facilement la

cubature trouvée par Roberval8) déjà avant 1646 et mentionnée par nous dans la note 3 de la p. 201. Encore en août 1693, Huygens témoigna à de la Hire de son admiration pour cette invention de Roberval9).

Ajoutons que vers le commencement de mars 1660 Huygens reçut10) le traité ‘De cycloide’ de Wallis11), où celui-ci résoud les problèmes de Pascal à l'aide des méthodes de l'‘Arithmetica infinitorum’12). Wallis s'y plaint violemment des procédés de Pascal. Dans la polémique qui s'ensuivit, Huygens, sans y prendre une part active, servit d'intermédiaire entre Wallis et de Carcavy13).

Théorie des développées et des courbes parallèles.

À propos des recherches sur la cycloïde, dont nous venons de traiter, nous avons dû constater une certaine infériorité des méthodes de Huygens, comparées à celles de Pascal et de Wallis. Par ses travaux sur la théorie des développées, Huygens a pris, pour ainsi dire, une revanche éclatante. En effet, en développant cette théorie, il a ajouté à l'analyse des courbes planes un chapitre intéressant et beau dont la priorité lui appartient sans contestation.

Il faut en chercher l'origine dans l'emploi des petits arcs BA et CD14) que Huygens appliqua en 1658 à ses horloges à pendule afin de rendre la période des oscillations indépendante de leur largeur. Il est clair que ces arcs sont

avec la courbe décrite par la masse pesante dans la relation d'une développée à sa développante.

D'abord c'était à l'expérience que Huygens demanda ‘de quelle maniere et combien’ il devait ‘les plier pour esgaler entre eux les coups des plus larges jusqu'aux plus menus’. Il y réussit si bien avec ‘deux Horologes de cette façon, qu'en trois jours il n'y eust jamais entre elles la difference d'autant de secondes: quoyque cependant’ il en changeât ‘souvent les poids, les rendant plus ou moins pesants’1).

C'est au 1 décembre 16592) que Huygens découvrit le tautochronisme de la cycloïde, et déjà le 6 décembre il put écrire à van Schooten3) qu'il avait trouvé ces jours ce qu'il n'avait jamais espéré de connaître, c'est-à-dire la forme exacte qu'il faut donner aux arcs AB, CD afin d'égaliser absolument les oscillations. Cette invention lui sembla la plus heureuse de toutes celles qui se soient jamais présentées à lui4).

Ayant trouvé une méthode générale pour déterminer la développée d'une courbe donnée, Huygens l'appliqua non seulement à la cycloïde5), mais aussi aux coniques et aux paraboles et hyperboles de divers degrés. Dans la Pièce N^o. XV nous avons reproduit ses recherches de 1659 sur les développées de l'ellipse et de l'hyperbole6). Elles nous apprennent comment Huygens a obtenu les résultats qui sont mentionnés dans l'‘Horologium oscillatorium’ sans qu'on y trouve leur déduction7).

Nous faisons suivre dans la même Pièce la théorie générale des développées telle qu'elle fut inventée par Huygens dans cette même année8). L'exposition

s'écarte en plusieurs points de celle qu'il donna plus tard dans l'‘Horologium oscillatorium’9). Elle en diffère surtout en ce qu'elle est accompagnée de considérations sur les courbes parallèles et équidistantes, qui manquent entièrement dans cet ouvrage.

Disons encore que dans le manuscrit dont nous avons emprunté la Pièce N^o. XV on trouve aussi quelques calculs incomplets sur les développées des paraboles et hyperboles de divers degrés qui montrent que les résultats qui se rapportent à ces courbes dans l'‘Horologium oscillatorium’10), furent découverts eux aussi en cette année 1659.