Principe de l'incitation donnée aux corps par un agent extérieur ou par une cause inconnue, et découverte de la théorie générale de l'isochronisme des vibrations.

Avertissement.

Dans un programme, datant d'avant 1673, que nous avons déjà mentionné dans la note 6 de la p. 247 du T. XVII (il est intitulé: ‘Ordre qu'on pourra tenir a traiter des Mechaniques’) Huygens parle comme suit de la Statique et de la Dynamique1):

‘Je voudrois traiter en suite de la Statique des corps surnageans à l'eau, et de leur positions suivant les diverses figures, de quoy a escrit Archimede, l'on pourroit examiner son traitè, et aussi celuy que j'en ay fait2).

Je mettrois icy la statique des poids suspendus par plusieurs cordes diversement tirees, mais nous en avons traitè suffisamment cy devant en nostre Assemblee3).

Il reste les matieres qui regardent particulierement le mouvement qui sont d'une contemplation plus difficile que toutes les autres et comme elles participent de la Physique, aussi servent elles autant a cette partie de la Philosophie qu'aux usages de la Mechanique.

Il y a en premier lieu a establir la theorie du mouvement des corps qui tombent, dans laquelle je crois qu'il faut se servir des hypotheses qui menent aux propositions

qui s'accordent le mieux avec l'Experience1). D'icy dependent aussi les mouvements des corps jettez et des boulets de canon flesches &c.

De la mesme theorie depend le mouvement des pendules et la maniere de le rendre parfaitement egal, dont je donneray la demonstration2).

La mesme sert encore a demonstrer les centres d'agitation3) que je pourray donner ensuite et par les quelles on peut determiner exactement une mesure universelle et inalterable a jamais4).

Il y a en fin a examiner les effects du mouvement circulaire et sa force a rejetter du centre, dont j'ay a proposer une Theorie qui s'accorde parfaitement avec les experiences5). Et duquel depend aussi une belle experience qu'il y a a faire pour prouver que la terre tourne6)’.

Les Pièces I et II qui suivent se rapportent à la ‘contemplation’ des ‘matieres qui regardent particulierement le mouvement’ et ‘participent de la Physique, partie de la Philosophie’, en servant en même temps ‘aux usages de la Mechanique’. Comparez sur ce ‘double but’ les p. 32 et 76 qui précédent.

La Pièce II de 1675 contient des réflexions sur le mouvement d'un corps sous

l'influence d'un agent matériel extérieur ou d'une cause inconnue. C'est d'une force qu'on peut appeler ‘newtonienne’ - quoique Newton n'ait rien à y voir - qu'il s'agit ici, non pas de la force cartésienne considérée à la p. 469 qui précède. Le corps considéré est, peut-on dire, un point pesant. Suivant Huygens - ce qui n'était pas l'opinion de tout-le-monde; voir le troisième alinéa de la note 11 de la p. 453 qui précède - il ne faut pas de force pour qu'un mobile continue son mouvement uniforme. Il est apparemment question d'un mouvement uniforme en ligne droite. Lorsqu'une force agit sur un corps, elle lui donnera ‘continuellement de l'accélération’.

Lorsque la force agissant sur le mobile provient d'un moteur, elle n'est pas toujours - même lorsqu'elle agit dans le sens du mouvement, ce qui a lieu ici par hypothèse - la force totale de ce moteur, c.à.d. la force qu'il exercerait si le corps était en repos dans la situation considérée; c'est pourquoi il convient de distinguer la force exercée de la force totale en l'appelant ‘incitation’.

Le mot ‘incitatio’ se trouve d'ailleurs déjà dans la Pièce I de 16737), dans laquelle il n'y a pas lieu de distinguer à cause du mouvement que le point pesant possède déjà, la force exercée de la force totale. Incitatio y est toujours la force agissante, celle qui donne l'accélération, c.à.d. la composante de la force agissante dans le sens du mouvement. Il est vrai qu'on peut aussi considérer cette ‘incitatio’ comme inhérente au corps (voir dans la quatorzième ligne de la p. 490 l'expression ‘incitationem quam haberet’).

Huygens développe dans la Pièce I la théorie des vibrations harmoniques (pour employer ce terme) en les comparant - heureuse trouvaille - à des oscillations cycloïdales; comparaison d'où résulte leur isochronisme pour différentes amplitudes; il comprenait que les incitations provenant de causes différentes (pesanteur, élasticité, etc.) sont équivalentes, comme le dit l'avant-dernier alinéa de la p. 497, ainsi que l'Hypothèse de la page suivante par laquelle se termine la Pièce II.

Jusqu'à présent les historiens n'ont pas signalé Huygens comme le premier savant qui ait développé la théorie des vibrations harmoniques. Nous ignorons d'ailleurs s'il ajamais fait part de sa trouvaille à qui que ce soit8). Il a certainement causé avec Leibniz

sur ce sujet, puisque ce dernier écrit dans sa lettre du 2 mars 1691 (T. X, p. 52): ‘M. Newton n'a pas traité des loix du ressort; il me semble de vous avoir entendu dire autres fois que vous les aviés examinées, et que vous aviés demonstré l'isochronisme des vibrations’. C'est donc pendant le séjour de Leibniz à Paris, c.à.d. bientôt après sa découverte1), que Huygens en a fait part au philosophe allemand; mais sans entrer dans les détails. Dans sa réponse du 26 mars 1691 Huygens se contente d'écrire: ‘J'ay une demonstration de l'sochronisme des vibrations du ressort, estant supposè qu'il cede dans la mesme proportion de la force qui le presse, comme l'experience l'enseigne constamment2)’.

En 1691 Huygens n'eût cependant trahi aucun secret en disant de quelle façon il avait passé de la considération de la vibration cycloïdale à celle de la vibration harmonique quelconque, puisqu'on trouve la même chose dans les ‘Philosophiae naturalis Principia mathematica’ de 1687 de Newton: suivant le Corollaire à la Prop. II, Theor. XVIII du Liber Primus de ce dernier, dans le cas du mouvement cycloïdal la composante de la force agissant dans le sens du mouvement est proportionnelle à l'arc que le point pesant doit parcourir pour atteindre le point le plus bas; d'où résulte, comme le dit déjà l'énoncé du théorème, que ‘oscillationum utcunque inaequalium aequalia erunt tempora’3). La différence essentielle c'est que Huygens, dans son ‘Hor. oscill.’, avait prouvé d'une autre façon le tautochronisme de la cycloïde, et que, constatant ensuite que la force agissante est proportionnelle à l'écart, il en avait conclu à l'isochronisme des vibrations harmoniques quelconques; tandis que Newton, après avoir remarqué la proportionnalité de la force à l'écart dans le même cas spécial, en déduisit par un raisonnement sur les accélérations et les vitesses, le tautochronisme de la cycloïde ainsi que la propriété analogue des vibrations quelconques où la force est proportionnelle à l'écart4). Il est de toute évidence que c'est la lecture de l'‘Hor. osc.’ qui a amené Newton à considérer l'oscillation cycloïdale, mais son idée de

prouver de cette façon le tautochronisme peut fort bien avoir été originale5): rien n'indique - quoique cela soit évidemment possible - que la pensée de Huygens ait été divulguée, ni avant, ni après 1687.

Il est vrai que 's Gravesande écrit dans ses ‘Physices Elementa mathematica Experimentis confirmata, sive Introductio ad Philosophiam Newtonianam’ de 1742 que dans le cas de la cycloïde la force agissante est proportionnelle à l'arc6) et que les vibrations d'une lame élastique sont isochrones puisqu'on peut dire ‘laminam agitari juxta Leges Penduli in Cycloide oscillati’7), à quoi il ajoute: ‘Hugenius detexit laminae elasticae vibrationes esse aequè diuturnas’8), mais ces remarques éparses ne font nullement voir qu'il s'agit ici d'une théorie dont Huygens fut l'auteur. Nous ne croyons donc pas que 's Gravesande ait remarqué la ‘Pièce I’ dans les manuscrits de Huygens; de fait, comme nous l'avons déjà observé à la p. II du T. I, il s'est borné, en sa qualité d'éditeur de Huygens, à reproduire les ouvrages déjà imprimés, sans tenir compte en aucune façon des manuscrits, dont le contenu semble lui être resté absolument inconnu.

Il est donc à peu près superflu de dire que ni 's Gravesande ni, sauf erreur, aucun autre auteur, n'indique que Huygens est le premier savant qui ait entrepris de donner une théorie mathématique des cordes vibrantes9). Cette théorie, il est vrai, n'est qu'une ébauche, mais c'est une ébauche méritoire10).

Dans le § 6 de la Pièce I, Huygens parle aussi de ses expériences sur ce sujet. Il ne dit pas si c'était chez lui ou bien à l'Académie qu'il les avait prises.

Avant lui, Mersenne en avait pris un grand nombre, comme on peut le voir dans ses ‘Harmonicorum libri, in quibus agitur de sonorum natura, causis, & effectibus: de Consonantiis, Dissonantiis, Rationibus, Generibus, Modis, Cantibus, Compositione, orbisque totius Harmonicis Instrumentis’1). Il avait établi expérimentalement un grand nombre de théorèmes. La Prop. XXIX de la p. 24 p.e. dit que les vibrations de différentes amplitudes d'une même corde, ayant une tension donnée, sont isochrones. En effet, la hauteur des sons forts et faibles est la même; il suffisait donc de comprendre que ce qui fait la hauteur du son, c'est le nombre des vibrations. La Prop. IX de la p. 12 dit que les vibrations de deux cordes du même genre de longueurs inégales sont isochrones lorsque les tensions sont entre elles comme les carrés des longueurs. Etc.

C'est de la considération des cordes vibrantes - qui formaient déjà dans l'antiquité le sujet des recherches de Pythagore2) et de Ptolémée - que l'auteur de l'‘Harmonie Universelle’3) passa à celle d'autres mouvements oscillatoires4). C'est lui qui avait dirigé (T. XVI, p. 349, T. XVIII, p. 243) les regards du jeune Huygens sur le mouvement périodique des pendules. Grâce à Huygens nous voyons ici, par un juste retour, la théorie des cordes vibrantes profiter des résultats obtenus dans le domaine des pendules.

Cependant il y a une réserve à faire sur la priorité de Huygens. Il est juste d'ajouter qu'il connaissait dès 1673 l'ouvrage de I.G. Pardies, apparu simultanément avec l'‘Horologium oscillatorium’ et dont l'auteur, professeur à Paris au ‘Collège de Clermont’, décéda immédiatement après cette publication. Nous parlons de ‘La Statique ou Science des Forces mouvantes’ (citée e.a. dans la note 4 de la p. 304 du T. VII). Dans sa Préface Pardies se dit ‘résolu de faire tout un corps de Mécanique’. Il parle de six ‘discours’, dont ‘La Statique’ est le deuxième. ‘Le cinquième discours’, dit-il, ‘est du mouvement de Vibration, c'est à dire, de tous les corps qui sont un mouvement réciproque allant & venant, comme font les pendules, les cordes tendues, les ressorts, & plusieurs autres corps. L'on y décrit une pendule, dont toutes les vibrations sont d'une égale durée; l'on démontre aussi que toutes les vibrations d'une corde tendue durent également; que les vibrations de deux cordes d'égale grosseur, & également tendues, sont en raison réciproque des longueurs des cordes, au lieu que dans les pendules elles sont seulement en raison sous-doublée; que dans les cordes égales, les vibrations sont en raison sous-doublée des forces ou des poids qui les tendent; que les vibratîons sont encore en raison sous-doublée des grosseurs des cordes d'égale longueur, & également tendues. Desorte que l'on démontre par les causes tout ce que l'expérience nous fait remarquer dans les sons & dans l'harmonie des cordes tendues’.

On ne sait ce que sont devenus les manuscrits de l'auteur, ni s'il avait déjà rédigé ce cinquième discours en tout ou en partie. Son programme fait voir que probablement, comme Huygens, il passa, d'une façon ou d'une autre, de la considération des pendules à celle des vibrations harmoniques; ce qui est d'autant plus croyable qu'il avait trouvé, et publié à la fin de ‘La Statique’, une ingénieuse démonstration du tautochronisme de la cycloïde. Il n'est pas impossible - quoiqu'on n'en trouve rien chez lui - qu'il ait remarqué, en réfléchissant sur cette démonstration, que la composante de la pesanteur qui agit dans le sens du mouvement est proportionnelle à l'arc, ce que nous avons appelé plus haut (p. 483) la trouvaille de Huygens5).

Vers la fin du premier chapitre du ‘Traité de la Lumière’ de 1690 Huygens parle,

à propos du sixième discours de Pardies qui est du mouvement d'Ondulation etc., de son Traité ‘dont il me fit voir une partie et qu'il ne put achever, étant mort peu de temps après’. (Il ignore ‘si son écrit s'est conservé’). Il est donc possible que Pardies ait aussi causé avec Huygens sur les sujets du cinquième discours, ou même qu'il lui en ait fait voir une partie déjà rédigée.